MiltonMarketsのレバレッジ × ボラティリティクラスタリングについて

レバレッジ × ボラティリティクラスタリングは、
金融市場の不安定性を理解するうえで最も重要な結合テーマの一つです。
これは単なる統計的性質ではなく、レバレッジ行動がボラティリティを「作り」、
そのボラがさらにレバレッジ行動を歪めるという内生的循環構造を指します。

以下、直感 → 数理 → 動学 → 危機 → 実務の順で詳しく解説します。

1. ボラティリティクラスタリングとは何か（前提）

定義

大きな値動きの後には大きな値動きが続きやすい
小さな値動きの後には小さな値動きが続きやすい

数理的特徴

リターンは無相関
二乗リターン・絶対リターンは自己相関

GARCH型で記述される性質。

2. なぜ「レバレッジ」が重要なのか

古典的説明の限界

ニュース到来説
情報の持続性

👉 なぜボラが“まとまって”出るかを説明しきれない。

3. レバレッジが作るボラティリティ（核心）

基本ループ

低ボラ環境
 ↓
リスク指標低下（VaR↓）
 ↓
レバレッジ拡大
 ↓
ポジション肥大
 ↓
小ショックでも価格影響大
 ↓
ボラティリティ上昇

👉 低ボラが高ボラの原因になる

4. レバレッジ制約とクラスタリング

VaR制約の例

$\text{VaR}_t = L_t \cdot \sigma_t \cdot z$ VaRt=Lt⋅σt⋅z

制約： $L_t \le \frac{K}{\sigma_t}$ Lt≤σtK

含意

$\sigma_t ↓ \Rightarrow L_t ↑$ σt↓⇒Lt↑
$\sigma_t ↑ \Rightarrow L_t ↓$ σt↑⇒Lt↓（強制）

強制デレバレッジ

ボラ上昇
一斉売却
価格変動が持続

👉 高ボラ状態が続く

5. 数理モデルでの表現

レバ内生型GARCH（概念）

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha r_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 + \delta L_{t-1}^2$ σt2=ω+αrt−12+βσt−12+δLt−12

$L_{t-1}$ Lt−1：前期レバレッジ
レバがボラを直接押し上げる

フィードバック構造

$L_t = f(\sigma_{t-1}) \quad,\quad \sigma_t = g(L_{t-1})$ Lt=f(σt−1),σt=g(Lt−1)

👉 相互依存

6. レバレッジ効果（Leverage Effect）との違い

項目	レバレッジ効果	本テーマ
内容	価格下落→ボラ↑	レバ行動→ボラ持続
主体	企業財務	市場参加者
時間軸	短期	中期〜長期
本質	非対称性	内生循環

※ 名前が似ているが別概念。

7. クラスタリングが「崩壊」に変わる瞬間

臨界条件

高レバ状態
流動性低下
証拠金引き上げ

この三つが揃うと：

👉 ボラティリティ・クラスタリング → ボラティリティ爆発

8. 実例

2008年

低VIX長期化
レバ拡大
小ショック → 高ボラ長期化

2020年3月

リスクパリティ・VaR戦略の同時縮小
ボラが「塊」で出現

9. 実務的な示唆

危険サイン

ボラ低下 × 建玉増加
VaR感応度の上昇
類似戦略の集中

対策

レバをボラの逆数でなく
ボラ × 流動性で制御
レジーム依存パラメータ
マイクロヘッジ併用

10. 理論的な位置づけ

GARCH：結果を記述
レバ×ボラモデル：原因を説明

👉 クラスタリングは
統計現象ではなく行動の集積結果

まとめ（核心）

ボラは「外から来る」のではない
レバレッジ行動がボラを作る
低ボラは最も危険な状態
クラスタリングは市場の記憶