MiltonMarketsのレバレッジ・レジームシフトモデル（Leverage Regime Shift）について

レバレッジ・レジームシフトモデル（Leverage Regime Shift Model）は、金融市場における急激な変動（特にクラッシュやボラティリティの急上昇）を説明するための理論モデルです。
主に、**レバレッジ（借入）と市場の状態（レジーム）**の相互作用に注目します。

以下、基礎から順に詳しく解説します。

1. 基本的な考え方

このモデルの核心は次の3点です。

市場参加者はレバレッジを使う
価格変動によりレバレッジ制約が変化する
ある閾値を超えると、市場が別の「レジーム」に移行する

👉 その結果、
**平常時（安定レジーム）**から
**危機時（不安定・クラッシュレジーム）**へ
非連続的に移行します。

2. レバレッジとは何か（前提）

レバレッジの定義

$\text{レバレッジ} = \frac{\text{資産}}{\text{自己資本}}$ レバレッジ=自己資本資産

レバレッジが高いほど、小さな価格変動で大きな損益
金融機関・ヘッジファンド・証拠金取引で重要

3. レジーム（Regime）とは？

レジームとは

市場の支配的な状態・構造

例：

低ボラ・高流動性レジーム
高ボラ・流動性枯渇レジーム

レバレッジ・レジームシフトモデルでは、

レジーム	特徴
安定レジーム	高レバレッジ、低ボラ、価格は緩やか
危機レジーム	レバレッジ縮小、強制売却、急落

4. モデルのメカニズム（核心）

(1) 安定レジーム

ボラティリティが低い
VaRなどのリスク指標が小さい
金融機関はレバレッジを拡大
資産価格が上昇 → さらにレバレッジ拡大

👉 自己強化ループ（正のフィードバック）

(2) ショックの発生

小さな価格下落
マクロニュース
流動性の低下

この時点ではまだ小さな変化。

(3) レバレッジ制約の発動

価格下落 → 自己資本減少
レバレッジ比率が上昇
マージンコール／VaR制約

👉 強制的な資産売却が発生

(4) レジームシフト（相転移）

売却 → 価格下落
価格下落 → さらなる売却

非線形・連鎖的崩壊

これが「レジームシフト」。

5. 数理的な枠組み（簡略）

典型的には以下を組み合わせます。

状態変数

資産価格 $P_t$ Pt
ボラティリティ $\sigma_t$ σt
レバレッジ $L_t$ Lt

制約条件

$L_t \leq \frac{1}{\text{VaR}(\sigma_t)}$ Lt≤VaR(σt)1

動学

$\sigma_t \downarrow \Rightarrow L_t \uparrow$ σt↓⇒Lt↑
$P_t \downarrow \Rightarrow L_t \uparrow \Rightarrow 売却 \Rightarrow P_t \downarrow$ Pt↓⇒Lt↑⇒売却⇒Pt↓

👉 非線形ダイナミクス

6. なぜ「レジームシフト」なのか？

重要なのは、

変化が連続的ではない
ある閾値を超えると急激に性質が変わる

物理学でいう

相転移
臨界点

と同じ構造。

7. 実際の金融危機との関係

代表例

2008年リーマン・ショック
1998年 LTCM危機
2020年コロナショック初期

共通点：

危機前：低ボラ・高レバレッジ
危機時：一斉デレバレッジ

8. 他モデルとの違い

モデル	特徴
ブラック–ショールズ	定常・連続
GARCH	ボラ変動はあるが構造一定
マルコフ・レジーム	状態切替は外生
レバレッジ・レジームシフト	内生的に危機が発生

👉 市場内部の構造が危機を生む点が最大の特徴。

9. 投資・リスク管理への示唆

実務的な教訓

低ボラ＝安全ではない
レバレッジの累積が最大リスク
分散が効かない局面が存在

実践的指標

レバレッジ比率の急上昇
ボラ低下＋信用拡大
マージン要件の変化

10. 関連研究・理論背景

Adrian & Shin（2010）：Liquidity and Leverage
Brunnermeier & Oehmke
Minskyの金融不安定性仮説
複雑系・エージェントベースモデル

まとめ（要点）

レバレッジが市場を不安定化させる
危機は外生ショックではなく内生的
レジームは閾値を超えると突然切り替わる
リスクは「静かな時」に蓄積される