MiltonMarketsのオプション・スプレッド模倣（オプション理論応用）について

**オプション・スプレッド模倣（Option Spread Replication / Synthetic Spread）**は、
👉 オプション理論（ギリシャ文字・ペイオフ）を使って、現物・先物・複数レッグで「オプションスプレッドと同等の損益構造」を再現する戦略です。
プロップ、裁定取引、ボラティリティ取引でよく使われます。

以下、理論 → 数式 → 実装 → 実戦上の注意の順で解説します。

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1. オプション・スプレッド模倣とは何か

定義

オプションのスプレッド（例：コールスプレッド、ストラドル）と同じ
デルタ・ガンマ・ベガ特性を、他の金融商品で再現すること

目的

• 実オプションが
  • 流動性が低い
  • スプレッドが広い
  • 取引制限がある
• その代替として
  👉 先物・現物 + 動的ヘッジで同等のリスク構造を作る

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2. 基本となるオプション理論

ブラック＝ショールズの分解

オプション価格は以下で近似できます：$$dV \approx \Delta dS + \frac{1}{2}\Gamma dS^2 + Vega d\sigma + \Theta dt$$dV≈ΔdS+21​ΓdS2+Vegadσ+Θdt

👉 スプレッド = ギリシャの組み合わせ

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3. 代表的なスプレッドと模倣方法

① コール・スプレッド（Bull Call Spread）

本来の構造

• +Call(K1)
• −Call(K2)

ギリシャ特性

指標	特性
Δ	正（上限あり）
Γ	限定的
Vega	小
損益	上下限定

模倣方法（先物ベース）

1. デルタヘッジ範囲を制限
2. 価格が
   • K1未満 → ロング先物
   • K2超過 → ポジション縮小
3. ノックアウト型の動的デルタ調整

👉 実質「デルタが段階的に飽和する」構造

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② バタフライ・スプレッド

本来の構造

• +Call(K1)
• −2Call(K2)
• +Call(K3)

模倣の核心

• ガンマ集中
• 中心価格で最大利益

模倣方法

• 中心付近で
  • デルタを頻繁にリバランス
• 外側に離れたら
  • リバランス頻度を落とす

👉 ガンマ・スキャルピングの変形

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③ ストラドル / ストラングル

本来の構造

• ±両方向のボラティリティ賭け

模倣方法

• デルタニュートラル
• ガンマロング
• 価格変動があれば
  • 上下で先物を売買して利益確定

👉 純粋なボラティリティ取引

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4. 数学的な模倣（核心）

デルタ・レプリケーション定理

ブラック＝ショールズでは：

オプションは「現物＋無リスク資産の動的ポートフォリオ」で複製可能

離散時間での実装

$$\Delta_t = \frac{\partial V}{\partial S}\Big|_{t}$$Δt​=∂S∂V​​t​

毎ティック or 毎バーで：

• 先物数量 = Δ_t
• 残りはキャッシュ

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5. スプレッド模倣の実装パターン

パターンA：完全模倣型

• 常時デルタ更新
• 高頻度リバランス
• HFT / プロップ向け

パターンB：近似模倣型（実務的）

• デルタゾーン制
• 価格帯ごとに数量固定
• 手数料を抑制

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6. 実践的なアルゴリズム例（疑似コード）

if price < K1:
    delta = 0
elif K1 <= price <= K2:
    delta = (price - K1) / (K2 - K1)
else:
    delta = 1

target_position = delta * max_size
adjust_futures(target_position)

👉 デルタの「台形近似」＝コールスプレッド

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7. なぜ模倣が有効なのか

実オプション vs 模倣

実オプション	模倣
ベガあり	ベガなし（自作可能）
時間価値減少	自由に制御
流動性依存	高流動性
見えないコスト	明示的

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8. 最大のリスク

❗ モデルリスク

• ボラが急変 → 破綻
• ジャンプ → ガンマ負け

❗ 実務リスク

• リバランス遅延
• スリッページ
• 約定拒否

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9. プロがやる高度化手法

① ボラティリティ面の再現

• 先物＋VIX先物
• 複数満期の合成

② 不完全市場対応

• クオンタイル・ヘッジ
• ロバスト・デルタ

③ 機械学習

• Δ・ΓをNNで近似
• 状態依存ヘッジ

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10. 日本市場（JPX）での注意点

• 夜間セッションのギャップ
• SQ前の流動性変化
• 日経225オプションの板薄

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11. この戦略が向いている人

• オプション理論を理解している
• 手数料が安い
• 自動売買が可能

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